Algèbre | Trace des Matrice - Noyaux - Applications linéaires | Entrainement 4

Bonjour,
Voici un deuxième exercice sur les matrices.
Je rédigerai prochainement la réponse. Pendant ce temps, commencez à réfléchir dessus !

Simplement cliquer sur l'image pour l'agrandir.
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Cordialement SyTeK-67-David

Voici la réponse de cet exercice.
Ne regardez qu'après avoir bien cherché !


Première étape :

Il faut constater au préalable qu'il s'agit de montrer une relation entre une dimension et la trace d'une matrice. Or (cours) la trace d'une matrice peut être liée au rang de celle-ci si l'endomorphisme de cette matrice est un projecteur.

La trace étant linéaire, on montre donc que (1/q)*(I + A + ... + A^(q-1)) est bien égal à son carré, en s'aidant notamment de la relation de l'énoncé : A^q = I.

Cf. le calcul (1). On en déduit la relation (2).

Deuxième étape :

Il faut ensuite penser à la formule de la somme des termes d'une suite géométrique :
1 + x + ... + x^(q-1) = (x^q - 1) / (x - 1) et on obtient facilement (x - 1)(1 + x + ... + x^(q-1)) = x^q - 1.

Cf. le résultat (3).

Troisième étape :

Reste à prouver que l'image de la somme des A^k (qui est aussi l'image de (1/q) fois la somme des A^k) est incluse dans Ker(A - I) pour prouver l'égalité entre les ensembles.

Cf. le calcul (4), avec f l'endomorphisme canoniquement associé à A.

On en déduit l'égalité des dimensions, puis le résultat (5).