Algèbre | Matrices Symétriques | Entrainement 3

Bonjour, voici ci-joint un exercice d'algèbre sur les matrices symétriques.

Voici la réponse. Ne regardez la réponse qu'après avoir bien cherché !

1) Il faut tout simplement commencer par déterminer Ker(f) puis Im(f).

Pour déterminer Ker(f), soit B un élément de cet ensemble. Il vérifie f(B) = 0, donc la transposée de B est -B. On en déduit que B est antisymétrique. Le noyau de f est donc contenu dans l'ensemble des matrices antisymétriques.
Réciproquement, si B est antisymétrique, sa transposée est -B, donc f(B) = 0, donc B appartient au noyau de f.
On en déduit le résultat (1a).

Pour déterminer Im(f), soit C un élément de cet ensemble. Il existe D appartenant à E tel que f(D) = C. On en déduit (1b). Réciproquement, soit C une matrice symétrique, elle est donc égale à sa transposée, on en déduit (1c).
Comme tout élément de E se décompose en une somme unique de matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique, on en déduit le résultat (1).

2) Soit une base B(S) de l'ensemble des matrices symétriques, une base B(A) des matrices antisymétriques. On concatène ces deux bases en une base B(E) de E (cf question 1, propriété de la somme directe).

On définit F comme la matrice de f dans la base B(E). La matrice F est représentée dans (2).
On obtient en regardant la matrice Tr(f) = Tr(F) = n(n+1) ainsi que det(f) = det(F) = 0.
On constate de même que F est diagonale, f est donc diagonalisable et ses valeurs propres sont sur la diagonale de F : f a donc pour valeurs propres 2 d'ordre n(n+1)/2 et 0 d'ordre n(n-1)/2.

3) On procède par analyse et synthèse.

En analyse, on considère un élément quelconque M de E(A), M appartient à E. D'après le résultat (1), on en déduit (3a).
On calcule f(M) (3b). On obtient la relation (3c) entre M et A qui termine l'analyse. De plus, A est symétrique et appartient à E(A). De ce fait, on en déduit sa trace : Tr(A) = 2 (3d).

En synthèse, on se contente de prouver, avec les résultats obtenus en analyse, que les matrices vérifiant la relation (3c) appartiennent bien à E(A), sachant que A ne peut être que symétrique. On en déduit le résultat final (3).

C'est un exercice très complet à la fois pour l'énoncé mais aussi pour le corrigé !
En plus les pièces jointes ont bien été référencées en fonction des différentes étapes de correction

Beau travail, continue ainsi