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 Algèbre | Trace des Matrice - Noyaux - Applications linéaires | Entrainement 4

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Sburn
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MessageSujet: Algèbre | Trace des Matrice - Noyaux - Applications linéaires | Entrainement 4   Ven 16 Nov - 17:00

Bonjour,
Voici un deuxième exercice sur les matrices.
Je rédigerai prochainement la réponse. Pendant ce temps, commencez à réfléchir dessus !
Fichiers joints
Exercice 002.png
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_________________
det (A + e^(sT) B e^(-sT) )
= det (A + (I + sT + O(s²)) B (I - sT + O(s²)) )
= det (A + B + s(TB - BT) + O(s²))
= det ((A + B) (I + s(TB - BT) (A + B)^(-1) + O(s²))
= det (A + B) det (I + s(TB - BT) (A + B)^(-1) + O(s²))
= det (A + B) (1 + sTr((TB - BT) (A + B)^(-1)) + O(s²))
= det (A + B) (1 + sTr((TB - BT) (A + B)^(-1))) + O(s²)
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SyTeK-67-David
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MessageSujet: ouiii !!   Ven 23 Nov - 6:56

Simplement cliquer sur l'image pour l'agrandir.
N'oubliez pas de poster vos réponses si vous êtes certain qu'elles sont justes.
N'oubliez pas de voter en cochant la case qui vous semble la bonne pour le sondage.
En votant vous donnerez la note de l'exercice ! Le destin et l'avenir de l'exercice sont donc entre vos mains !
Si l'exercice ne reçoit aucun vote ou possède une moyenne générale inférieure ou égale à 14 / 20, celui ci sera supprimé du forum pour en laisser place à d'autres.
Si l'exercice reçoit une note supérieure ou égale à 15 / 20 il sera conservé !

Cordialement SyTeK-67-David Smile


Dernière édition par SyTeK-67-David le Mer 16 Jan - 12:44, édité 1 fois
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Sburn
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MessageSujet: Re: Algèbre | Trace des Matrice - Noyaux - Applications linéaires | Entrainement 4   Ven 23 Nov - 16:36

Voici la réponse de cet exercice.
Ne regardez qu'après avoir bien cherché !


Première étape :

Il faut constater au préalable qu'il s'agit de montrer une relation entre une dimension et la trace d'une matrice. Or (cours) la trace d'une matrice peut être liée au rang de celle-ci si l'endomorphisme de cette matrice est un projecteur.

La trace étant linéaire, on montre donc que (1/q)*(I + A + ... + A^(q-1)) est bien égal à son carré, en s'aidant notamment de la relation de l'énoncé : A^q = I.

Cf. le calcul (1). On en déduit la relation (2).

Deuxième étape :

Il faut ensuite penser à la formule de la somme des termes d'une suite géométrique :
1 + x + ... + x^(q-1) = (x^q - 1) / (x - 1) et on obtient facilement (x - 1)(1 + x + ... + x^(q-1)) = x^q - 1.

Cf. le résultat (3).

Troisième étape :

Reste à prouver que l'image de la somme des A^k (qui est aussi l'image de (1/q) fois la somme des A^k) est incluse dans Ker(A - I) pour prouver l'égalité entre les ensembles.

Cf. le calcul (4), avec f l'endomorphisme canoniquement associé à A.

On en déduit l'égalité des dimensions, puis le résultat (5).
Fichiers joints
Corrigé 002.png
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(36 Ko) Téléchargé 1 fois

_________________
det (A + e^(sT) B e^(-sT) )
= det (A + (I + sT + O(s²)) B (I - sT + O(s²)) )
= det (A + B + s(TB - BT) + O(s²))
= det ((A + B) (I + s(TB - BT) (A + B)^(-1) + O(s²))
= det (A + B) det (I + s(TB - BT) (A + B)^(-1) + O(s²))
= det (A + B) (1 + sTr((TB - BT) (A + B)^(-1)) + O(s²))
= det (A + B) (1 + sTr((TB - BT) (A + B)^(-1))) + O(s²)
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MessageSujet: Re: Algèbre | Trace des Matrice - Noyaux - Applications linéaires | Entrainement 4   

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