Suites couplées

a > 1.

On considère un couple (u,v) de suites définies de la façon suivante :

u(0) = a
u(n+1) = u(n)^v(n)

v(0) = 1/a
v(n+1) = v(n)^u(n)

Des exemples de telles suites sont présentés dans la pièce jointe.

On peut conjecturer que, quelque soit a>1, la suite u converge vers 1 et la suite v converge vers un réel x(a).

On peut également constater que x(a) tend vers 0 lorsque a tend vers +inf.

Question : J'aimerais savoir comment démontrer ces conjectures (si c'est possible).

Merci d'avance pour vos réponses.

Comme tu l'as constaté, une justification du signe des suites s'avère être grandement utile si l'on veut utiliser le logarithme népérien dans l'expression.
L'idéal pour justifier la limite serait de trouver l'expression de Un en fonction de n.
Pour cela j'ai peut être une piste.
Applique le logarithme népérien. Puis essaie d'appliquer ce que l'on appelle en algèbre (et en analyse pour éviter les discriminations) : les suites récurrentes linéaires à coefficients constants !
Tu posera donc une matrice X_{n+1} qui a 4 lignes 1 colonne et qui a comme éléments, les suites U_{n+1} et V_{n+1} (et les premiers termes); et une matrice X_{n} qui a comme éléments, les suites U_{n} et V_{n} (et les premiers termes).
Et tu écriras : X_{n+1} = A * X_{n} où A est une matrice.
Tu obtiendras X_{n+1} = A^n * X_{0} ----> trigonalisation de A + élever A à la puissance n.

Et le tour est joué !
Bien-entendu y a du travail derrière !
Cordialement SyTeK-67-David

SyTeK-67-David a écrit:

Comme tu l'as constaté, une justification du signe des suites s'avère être grandement utile si l'on veut utiliser le logarithme népérien dans l'expression.
L'idéal pour justifier la limite serait de trouver l'expression de Un en fonction de n.
Pour cela j'ai peut être une piste.
Applique le logarithme népérien. Puis essaie d'appliquer ce que l'on appelle en algèbre (et en analyse pour éviter les discriminations) : les suites récurrentes linéaires à coefficients constants !
Tu posera donc une matrice X_{n+1} qui a 4 lignes 1 colonne et qui a comme éléments, les suites U_{n+1} et V_{n+1} (et les premiers termes); et une matrice X_{n} qui a comme éléments, les suites U_{n} et V_{n} (et les premiers termes).
Et tu écriras : X_{n+1} = A * X_{n} où A est une matrice.
Tu obtiendras X_{n+1} = A^n * X_{0} ----> trigonalisation de A + élever A à la puissance n.

Et le tour est joué !
Bien-entendu y a du travail derrière !
Cordialement SyTeK-67-David

J'ai réussi à prouver que ta méthode ne peut pas s'appliquer ici (par l'absurde).

La troisième relation matricielle donne une relation affine entre u(n) et v(n), donc il existe k et c tel que u(n) = k*v(n)+c.
En calculant k et c pour a=2 à partir de u(0), u(1), v(0) et v(1) (système de deux équations à deux inconnues), on trouve que u(2) est différent de k*v(2)+c.

Donc A n'existe pas.